3.357 \(\int \frac{A+B \sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=858 \[ \frac{2 d \left (A \left (\left (3 c^2-4 d^2\right ) b^2+a^2 d^2\right )-B \left (c d a^2+3 b \left (c^2-d^2\right ) a-b^2 c d\right )\right ) \sqrt{a+b \sin (e+f x)} \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 b (A b-a B) \cos (e+f x)}{\left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 \left (B \left (-d^2 \left (c^2+3 d^2\right ) a^3+2 b c d \left (3 c^2-d^2\right ) a^2+b^2 \left (3 c^4-5 d^2 c^2+6 d^4\right ) a-2 b^3 c d \left (3 c^2-d^2\right )\right )+A \left (-\left (3 c^4-15 d^2 c^2+8 d^4\right ) b^3-4 a c d^3 b^2-a^2 d^2 \left (9 c^2-5 d^2\right ) b+4 a^3 c d^3\right )\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^4 f}-\frac{2 \left (B \left (-c \left (3 c^2+3 d c-2 d^2\right ) b^2-6 a d \left (c^2-d^2\right ) b+a^2 d^2 (c+3 d)\right )-A \left (\left (3 c^3-9 d c^2-6 d^2 c+8 d^3\right ) b^2-6 a d \left (c^2-d^2\right ) b+a^2 d^2 (3 c+d)\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^3 f} \]

[Out]

(2*b*(A*b - a*B)*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))
+ (2*d*(A*(a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 - 4*d^2)) - B*(a^2*c*d - b^2*c*d + 3*a*b*(c^2 - d^2)))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(B*(2*a^2*b*c*d*(
3*c^2 - d^2) - 2*b^3*c*d*(3*c^2 - d^2) - a^3*d^2*(c^2 + 3*d^2) + a*b^2*(3*c^4 - 5*c^2*d^2 + 6*d^4)) + A*(4*a^3
*c*d^3 - 4*a*b^2*c*d^3 - a^2*b*d^2*(9*c^2 - 5*d^2) - b^3*(3*c^4 - 15*c^2*d^2 + 8*d^4)))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt
[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))
]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 +
Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(
b*c - a*d)^4*f) - (2*(B*(a^2*d^2*(c + 3*d) - b^2*c*(3*c^2 + 3*c*d - 2*d^2) - 6*a*b*d*(c^2 - d^2)) - A*(a^2*d^2
*(3*c + d) - 6*a*b*d*(c^2 - d^2) + b^2*(3*c^3 - 9*c^2*d - 6*c*d^2 + 8*d^3)))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqr
t[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f
*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x
]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^
3*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.61628, antiderivative size = 858, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 39, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.128, Rules used = {3000, 3055, 2998, 2818, 2996} \[ \frac{2 d \left (A \left (\left (3 c^2-4 d^2\right ) b^2+a^2 d^2\right )-B \left (c d a^2+3 b \left (c^2-d^2\right ) a-b^2 c d\right )\right ) \sqrt{a+b \sin (e+f x)} \cos (e+f x)}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 b (A b-a B) \cos (e+f x)}{\left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 \left (B \left (-d^2 \left (c^2+3 d^2\right ) a^3+2 b c d \left (3 c^2-d^2\right ) a^2+b^2 \left (3 c^4-5 d^2 c^2+6 d^4\right ) a-2 b^3 c d \left (3 c^2-d^2\right )\right )+A \left (-\left (3 c^4-15 d^2 c^2+8 d^4\right ) b^3-4 a c d^3 b^2-a^2 d^2 \left (9 c^2-5 d^2\right ) b+4 a^3 c d^3\right )\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^4 f}-\frac{2 \left (B \left (-c \left (3 c^2+3 d c-2 d^2\right ) b^2-6 a d \left (c^2-d^2\right ) b+a^2 d^2 (c+3 d)\right )-A \left (\left (3 c^3-9 d c^2-6 d^2 c+8 d^3\right ) b^2-6 a d \left (c^2-d^2\right ) b+a^2 d^2 (3 c+d)\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (\sin (e+f x)+1)}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^3 f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(A + B*Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)),x]

[Out]

(2*b*(A*b - a*B)*Cos[e + f*x])/((a^2 - b^2)*(b*c - a*d)*f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2))
+ (2*d*(A*(a^2*d^2 + b^2*(3*c^2 - 4*d^2)) - B*(a^2*c*d - b^2*c*d + 3*a*b*(c^2 - d^2)))*Cos[e + f*x]*Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]])/(3*(a^2 - b^2)*(b*c - a*d)^2*(c^2 - d^2)*f*(c + d*Sin[e + f*x])^(3/2)) + (2*(B*(2*a^2*b*c*d*(
3*c^2 - d^2) - 2*b^3*c*d*(3*c^2 - d^2) - a^3*d^2*(c^2 + 3*d^2) + a*b^2*(3*c^4 - 5*c^2*d^2 + 6*d^4)) + A*(4*a^3
*c*d^3 - 4*a*b^2*c*d^3 - a^2*b*d^2*(9*c^2 - 5*d^2) - b^3*(3*c^4 - 15*c^2*d^2 + 8*d^4)))*EllipticE[ArcSin[(Sqrt
[c + d]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))
]*Sec[e + f*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 +
Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(
b*c - a*d)^4*f) - (2*(B*(a^2*d^2*(c + 3*d) - b^2*c*(3*c^2 + 3*c*d - 2*d^2) - 6*a*b*d*(c^2 - d^2)) - A*(a^2*d^2
*(3*c + d) - 6*a*b*d*(c^2 - d^2) + b^2*(3*c^3 - 9*c^2*d - 6*c*d^2 + 8*d^3)))*EllipticF[ArcSin[(Sqrt[c + d]*Sqr
t[a + b*Sin[e + f*x]])/(Sqrt[a + b]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))]*Sec[e + f
*x]*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*x
]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*(c + d*Sin[e + f*x]))/(3*Sqrt[a + b]*(c - d)^2*(c + d)^(3/2)*(b*c - a*d)^
3*f)

Rule 3000

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[((A*b^2 - a*b*B)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*
Sin[e + f*x])^(1 + n))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int
[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(a*A - b*B)*(b*c - a*d)*(m + 1) + b*d*(A*b - a*B)*(m
+ n + 2) + (A*b - a*B)*(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2))*Sin[e + f*x] - b*d*(A*b - a*B)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2,
x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^
2, 0] && RationalQ[m] && m < -1 && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n,
-1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3055

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cos[e +
f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), x] + Dis
t[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*(b
*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(b*
c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && Lt
Q[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n] &&
!IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 2998

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Dist[(A - B)/(a - b), Int[1/(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]), x], x] - Dist[(A*b - a*B)/(a - b), Int[(1 + Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*Sqrt[c + d*Sin
[e + f*x]]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2
- d^2, 0] && NeQ[A, B]

Rule 2818

Int[1/(Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Si
mp[(2*(c + d*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c
- a*d)*(1 + Sin[e + f*x]))/((a - b)*(c + d*Sin[e + f*x])))]*EllipticF[ArcSin[Rt[(c + d)/(a + b), 2]*(Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]/Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])], ((a + b)*(c - d))/((a - b)*(c + d))])/(f*(b*c - a*d)*Rt[(c + d)/(a
+ b), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c
^2 - d^2, 0] && PosQ[(c + d)/(a + b)]

Rule 2996

Int[((A_) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)*Sqrt[(c_) + (d_.)*sin
[(e_.) + (f_.)*(x_)]]), x_Symbol] :> Simp[(-2*A*(c - d)*(a + b*Sin[e + f*x])*Sqrt[((b*c - a*d)*(1 + Sin[e + f*
x]))/((c - d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]*Sqrt[-(((b*c - a*d)*(1 - Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x])))]*
EllipticE[ArcSin[(Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]], ((a - b)*(c + d)
)/((a + b)*(c - d))])/(f*(b*c - a*d)^2*Rt[(a + b)/(c + d), 2]*Cos[e + f*x]), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A,
B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && EqQ[A, B] && PosQ[(a + b)/(c + d)]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{A+B \sin (e+f x)}{(a+b \sin (e+f x))^{3/2} (c+d \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx &=\frac{2 b (A b-a B) \cos (e+f x)}{\left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{2 \int \frac{\frac{1}{2} \left (a^2 A d+b^2 (B c-4 A d)-a (A b c-3 b B d)\right )-\frac{1}{2} (A b-a B) (b c+a d) \sin (e+f x)+b (A b-a B) d \sin ^2(e+f x)}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{5/2}} \, dx}{\left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)}\\ &=\frac{2 b (A b-a B) \cos (e+f x)}{\left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 d \left (A \left (a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2-4 d^2\right )\right )-B \left (a^2 c d-b^2 c d+3 a b \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{4 \int \frac{\frac{1}{4} \left (-3 a^3 d^2 (A c-B d)-3 a b^2 (A c-B d) \left (c^2-2 d^2\right )+a^2 b d \left (6 A c^2-B c d-5 A d^2\right )+b^3 \left (3 B c^3-9 A c^2 d-2 B c d^2+8 A d^3\right )\right )-\frac{1}{4} \left (B \left (3 b^3 c^2 d+a^3 c d^2-a b^2 c \left (3 c^2-2 d^2\right )-3 a^2 b d \left (2 c^2-d^2\right )\right )+A \left (3 a^2 b c d^2-a^3 d^3+a b^2 d \left (3 c^2-2 d^2\right )+3 b^3 \left (c^3-2 c d^2\right )\right )\right ) \sin (e+f x)}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2-d^2\right )}\\ &=\frac{2 b (A b-a B) \cos (e+f x)}{\left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 d \left (A \left (a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2-4 d^2\right )\right )-B \left (a^2 c d-b^2 c d+3 a b \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}-\frac{\left (B \left (a^2 d^2 (c+3 d)-b^2 c \left (3 c^2+3 c d-2 d^2\right )-6 a b d \left (c^2-d^2\right )\right )-A \left (a^2 d^2 (3 c+d)-6 a b d \left (c^2-d^2\right )+b^2 \left (3 c^3-9 c^2 d-6 c d^2+8 d^3\right )\right )\right ) \int \frac{1}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}} \, dx}{3 (a+b) (c-d)^2 (c+d) (b c-a d)^2}-\frac{\left (B \left (2 a^2 b c d \left (3 c^2-d^2\right )-2 b^3 c d \left (3 c^2-d^2\right )-a^3 d^2 \left (c^2+3 d^2\right )+a b^2 \left (3 c^4-5 c^2 d^2+6 d^4\right )\right )+A \left (4 a^3 c d^3-4 a b^2 c d^3-a^2 b d^2 \left (9 c^2-5 d^2\right )-b^3 \left (3 c^4-15 c^2 d^2+8 d^4\right )\right )\right ) \int \frac{1+\sin (e+f x)}{\sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}} \, dx}{3 \left (a^2-b^2\right ) (c-d)^2 (c+d) (b c-a d)^2}\\ &=\frac{2 b (A b-a B) \cos (e+f x)}{\left (a^2-b^2\right ) (b c-a d) f \sqrt{a+b \sin (e+f x)} (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 d \left (A \left (a^2 d^2+b^2 \left (3 c^2-4 d^2\right )\right )-B \left (a^2 c d-b^2 c d+3 a b \left (c^2-d^2\right )\right )\right ) \cos (e+f x) \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{3 \left (a^2-b^2\right ) (b c-a d)^2 \left (c^2-d^2\right ) f (c+d \sin (e+f x))^{3/2}}+\frac{2 \left (B \left (2 a^2 b c d \left (3 c^2-d^2\right )-2 b^3 c d \left (3 c^2-d^2\right )-a^3 d^2 \left (c^2+3 d^2\right )+a b^2 \left (3 c^4-5 c^2 d^2+6 d^4\right )\right )+A \left (4 a^3 c d^3-4 a b^2 c d^3-a^2 b d^2 \left (9 c^2-5 d^2\right )-b^3 \left (3 c^4-15 c^2 d^2+8 d^4\right )\right )\right ) E\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^4 f}-\frac{2 \left (B \left (a^2 d^2 (c+3 d)-b^2 c \left (3 c^2+3 c d-2 d^2\right )-6 a b d \left (c^2-d^2\right )\right )-A \left (a^2 d^2 (3 c+d)-6 a b d \left (c^2-d^2\right )+b^2 \left (3 c^3-9 c^2 d-6 c d^2+8 d^3\right )\right )\right ) F\left (\sin ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d} \sqrt{a+b \sin (e+f x)}}{\sqrt{a+b} \sqrt{c+d \sin (e+f x)}}\right )|\frac{(a+b) (c-d)}{(a-b) (c+d)}\right ) \sec (e+f x) \sqrt{\frac{(b c-a d) (1-\sin (e+f x))}{(a+b) (c+d \sin (e+f x))}} \sqrt{-\frac{(b c-a d) (1+\sin (e+f x))}{(a-b) (c+d \sin (e+f x))}} (c+d \sin (e+f x))}{3 \sqrt{a+b} (c-d)^2 (c+d)^{3/2} (b c-a d)^3 f}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 8.65213, size = 2807, normalized size = 3.27 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(A + B*Sin[e + f*x])/((a + b*Sin[e + f*x])^(3/2)*(c + d*Sin[e + f*x])^(5/2)),x]

[Out]

(Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]*((-2*(A*b^4*Cos[e + f*x] - a*b^3*B*Cos[e + f*x]))/((a^2 - b
^2)*(-(b*c) + a*d)^3*(a + b*Sin[e + f*x])) + (2*(-(B*c*d^2*Cos[e + f*x]) + A*d^3*Cos[e + f*x]))/(3*(b*c - a*d)
^2*(c^2 - d^2)*(c + d*Sin[e + f*x])^2) - (2*(6*b*B*c^3*d^2*Cos[e + f*x] - 9*A*b*c^2*d^3*Cos[e + f*x] - a*B*c^2
*d^3*Cos[e + f*x] + 4*a*A*c*d^4*Cos[e + f*x] - 2*b*B*c*d^4*Cos[e + f*x] + 5*A*b*d^5*Cos[e + f*x] - 3*a*B*d^5*C
os[e + f*x]))/(3*(b*c - a*d)^3*(c^2 - d^2)^2*(c + d*Sin[e + f*x]))))/f + ((-4*(-(b*c) + a*d)*(-3*a*A*b^3*c^5 +
3*b^4*B*c^5 + 9*a^2*A*b^2*c^4*d - 9*A*b^4*c^4*d - 9*a^3*A*b*c^3*d^2 + 15*a*A*b^3*c^3*d^2 - a^2*b^2*B*c^3*d^2
- 5*b^4*B*c^3*d^2 + 3*a^4*A*c^2*d^3 - 20*a^2*A*b^2*c^2*d^3 + 17*A*b^4*c^2*d^3 + 10*a^3*b*B*c^2*d^3 - 10*a*b^3*
B*c^2*d^3 + 5*a^3*A*b*c*d^4 - 8*a*A*b^3*c*d^4 - 4*a^4*B*c*d^4 + 5*a^2*b^2*B*c*d^4 + 2*b^4*B*c*d^4 + a^4*A*d^5
+ 7*a^2*A*b^2*d^5 - 8*A*b^4*d^5 - 6*a^3*b*B*d^5 + 6*a*b^3*B*d^5)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c
+ d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt
[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + P
i/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e
+ f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - 4*(-(b*c) + a
*d)*(-3*A*b^4*c^5 + 3*a*b^3*B*c^5 - 3*a*A*b^3*c^4*d + 9*a^2*b^2*B*c^4*d - 6*b^4*B*c^4*d - 9*a^2*A*b^2*c^3*d^2
+ 15*A*b^4*c^3*d^2 + 5*a^3*b*B*c^3*d^2 - 11*a*b^3*B*c^3*d^2 - 5*a^3*A*b*c^2*d^3 + 11*a*A*b^3*c^2*d^3 - a^4*B*c
^2*d^3 - 7*a^2*b^2*B*c^2*d^3 + 2*b^4*B*c^2*d^3 + 4*a^4*A*c*d^4 + a^2*A*b^2*c*d^4 - 8*A*b^4*c*d^4 - 5*a^3*b*B*c
*d^4 + 8*a*b^3*B*c*d^4 + 5*a^3*A*b*d^5 - 8*a*A*b^3*d^5 - 3*a^4*B*d^5 + 6*a^2*b^2*B*d^5)*((Sqrt[((c + d)*Cot[(-
e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x
]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*
Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2
- f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e
+ f*x]]) - (Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin
[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d)
)/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*
Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)
)])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])) + 2*(3*A*b^4*c^4*d - 3*a*b^3*B*c^4*d - 6*a^
2*b^2*B*c^3*d^2 + 6*b^4*B*c^3*d^2 + 9*a^2*A*b^2*c^2*d^3 - 15*A*b^4*c^2*d^3 + a^3*b*B*c^2*d^3 + 5*a*b^3*B*c^2*d
^3 - 4*a^3*A*b*c*d^4 + 4*a*A*b^3*c*d^4 + 2*a^2*b^2*B*c*d^4 - 2*b^4*B*c*d^4 - 5*a^2*A*b^2*d^5 + 8*A*b^4*d^5 + 3
*a^3*b*B*d^5 - 6*a*b^3*B*d^5)*((Cos[e + f*x]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]) + (Sqrt[(a
- b)/(a + b)]*(a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]*EllipticE[ArcSin[(Sqrt[(a - b)/(a + b)]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/
2])/Sqrt[(a + b*Sin[e + f*x])/(a + b)]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a - b)*(c + d))]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])/(b*d*
Sqrt[((a + b)*Cos[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(a + b*Sin[e + f*x])]*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[(a + b*Sin[e + f
*x])/(a + b)]*Sqrt[((a + b)*(c + d*Sin[e + f*x]))/((c + d)*(a + b*Sin[e + f*x]))]) - (2*(-(b*c) + a*d)*((((a +
b)*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*EllipticF[ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi
/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e +
f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqrt[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)
]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*(c + d)*Sqrt[a +
b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]]) - ((b*c + a*d)*Sqrt[((c + d)*Cot[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2)/(-c + d)]*
EllipticPi[(-(b*c) + a*d)/((a + b)*d), ArcSin[Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))
/(-(b*c) + a*d))]/Sqrt[2]], (2*(-(b*c) + a*d))/((a + b)*(-c + d))]*Sec[e + f*x]*Sin[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^4*Sqr
t[((c + d)*Csc[(-e + Pi/2 - f*x)/2]^2*(a + b*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d)]*Sqrt[-(((a + b)*Csc[(-e + Pi/2 - f
*x)/2]^2*(c + d*Sin[e + f*x]))/(-(b*c) + a*d))])/((a + b)*d*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[c + d*Sin[e + f*x]])
))/(b*d)))/(3*(a - b)*(a + b)*(c - d)^2*(c + d)^2*(-(b*c) + a*d)^3*f)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 14.667, size = 827030, normalized size = 963.9 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((A+B*sin(f*x+e))/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(5/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{B \sin \left (f x + e\right ) + A}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((B*sin(f*x + e) + A)/((b*sin(f*x + e) + a)^(3/2)*(d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{{\left (B \sin \left (f x + e\right ) + A\right )} \sqrt{b \sin \left (f x + e\right ) + a} \sqrt{d \sin \left (f x + e\right ) + c}}{6 \, a b c^{2} d + 2 \, a b d^{3} +{\left (3 \, b^{2} c d^{2} + 2 \, a b d^{3}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{4} +{\left (a^{2} + b^{2}\right )} c^{3} + 3 \,{\left (a^{2} + b^{2}\right )} c d^{2} -{\left (b^{2} c^{3} + 6 \, a b c^{2} d + 4 \, a b d^{3} + 3 \,{\left (a^{2} + 2 \, b^{2}\right )} c d^{2}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2} +{\left (b^{2} d^{3} \cos \left (f x + e\right )^{4} + 2 \, a b c^{3} + 6 \, a b c d^{2} + 3 \,{\left (a^{2} + b^{2}\right )} c^{2} d +{\left (a^{2} + b^{2}\right )} d^{3} -{\left (3 \, b^{2} c^{2} d + 6 \, a b c d^{2} +{\left (a^{2} + 2 \, b^{2}\right )} d^{3}\right )} \cos \left (f x + e\right )^{2}\right )} \sin \left (f x + e\right )}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*sin(f*x + e) + A)*sqrt(b*sin(f*x + e) + a)*sqrt(d*sin(f*x + e) + c)/(6*a*b*c^2*d + 2*a*b*d^3 + (3*
b^2*c*d^2 + 2*a*b*d^3)*cos(f*x + e)^4 + (a^2 + b^2)*c^3 + 3*(a^2 + b^2)*c*d^2 - (b^2*c^3 + 6*a*b*c^2*d + 4*a*b
*d^3 + 3*(a^2 + 2*b^2)*c*d^2)*cos(f*x + e)^2 + (b^2*d^3*cos(f*x + e)^4 + 2*a*b*c^3 + 6*a*b*c*d^2 + 3*(a^2 + b^
2)*c^2*d + (a^2 + b^2)*d^3 - (3*b^2*c^2*d + 6*a*b*c*d^2 + (a^2 + 2*b^2)*d^3)*cos(f*x + e)^2)*sin(f*x + e)), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))/(a+b*sin(f*x+e))**(3/2)/(c+d*sin(f*x+e))**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{B \sin \left (f x + e\right ) + A}{{\left (b \sin \left (f x + e\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}{\left (d \sin \left (f x + e\right ) + c\right )}^{\frac{5}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((A+B*sin(f*x+e))/(a+b*sin(f*x+e))^(3/2)/(c+d*sin(f*x+e))^(5/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*sin(f*x + e) + A)/((b*sin(f*x + e) + a)^(3/2)*(d*sin(f*x + e) + c)^(5/2)), x)